星期二, 3月 29, 2005

一生受用的公式

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Useful Mathematical & Physical Formulae 原版外文書資訊





二維圖形
下面是一些二維圖形的周長與面積公式。
圓:
半徑= r   直徑d=2r
圓周長= 2πr =πd
面積=πr2  (π=3.1415926…….)

橢圓:
面積=πab
a與b分別代表短軸與長軸的一半。
右圖中的兩個點是焦點,l+m是個常數(constant)。

矩形:
面積= ab
周長= 2a+2b

平行四邊形(parallelogram):
面積= bh = ab sinα
周長= 2a+2b
梯形:
面積= 1/2h (a+b)
周長= a+b+h (secα+secβ)
正n邊形:
面積= 1/2nb2 cot (180°/n)
周長= nb
四邊形(i):
面積= 1/2ab sinα
四邊形(ii):
面積= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2
三維圖形
  以下是三維立體的體積與表面積(包含底部)公式。

球體:
體積= 4/3πr3
表面積= 4πr2

方體:
體積= abc
表面積= 2(ab+ac+bc)

圓柱體:
體積= πr2h
表面積= 2πrh+2πr2

圓錐體:
體積= 1/3πr2h
表面積=πr√r2+h2 +πr2

三角錐體:
若底面積為A,
體積= 1/3Ah
平截頭體(frustum):
體積= 1/3πh (a2+ab+b2)
表面積=π(a+b)c+πa2+πb2
橢球:
體積= 4/3πabc
環面(torus):
體積= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2
表面積=π2 (b2–a2)
座標幾何
一對垂直相交於平面的軸線,可以讓平面上的任意一點用一組實數來表示。軸線的交點是 (0, 0),稱為原點。水平與垂直方向的位置,分別用x與y代表。

  一條直線可以用方程式y=mx+c來表示,m是直線的斜率(gradient)。這條直線與y軸相交於 (0, c),與x軸則相交於(–c/m, 0)。垂直線的方程式則是x=k,x為定值。

  通過(x0, y0)這一點,且斜率為n的直線是
y–y0=n(x–x0)

一條直線若垂直於斜率為n的直線,則其斜率為–1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點的直線是
y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2 x1≠x2
  若兩直線的斜率分別為m與n,則它們的夾角θ滿足於
tanθ=m–n/1+mn
半徑為r、圓心在(a, b)的圓,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。
 
三維空間裡的座標與二維空間類似,只是多加一個z軸而已,例如半徑為r、中心位置在(a, b, c)的球,以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。
三維空間平面的一般式為ax+by+cz=d。
三角學
  右頁上圖是個邊長為a、b、c的直角三角形,其中一個夾角為θ。它的六個三角函數分別為:正弦(sine)、餘弦(cosine)、正切(tangent)、餘割(cosecant)、正割(secant)和餘切(cotangent)。

sinθ=b/c  cosθ=a/c  tanθ=b/a
cscθ=c/b  secθ=c/a  cotθ=a/b
  

見右頁下圖,若圓的半徑是1,則其正弦與餘弦分別為直角三角形的高與底。
a=cosθ   b=sinθ

依照畢氏定理(參見第x頁),我們知道a2+b2=c2。因此對於圓上的任何角度θ,我們都可得出下列的全等式:
cos2θ+sin2θ=1
正弦、餘弦與正切的值,在一個圓的不同象限裡有正有負,如下圖所示。

三角恆等式
  
根據前幾頁所述的定義,可得到下列恆等式(identity):

tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ
  
分別用cos 2θ與sin 2θ來除cos 2θ+sin 2θ=1,可得:
sec 2θ–tan 2θ=1  及  csc 2θ–cot 2θ=1

對於負角度,六個三角函數分別為:

sin(–θ)= –sinθ  csc(–θ)= –cscθ
cos(–θ)= cosθ sec(–θ)= secθ
tan(–θ)= –tanθ cot(–θ)= –cotθ
  
右頁的圖是以弧度(radian,π弧度=180°)所畫的正弦、餘弦數值變化圖。
當兩角度相加時,運用和角公式:

sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ

若遇到兩倍角或三倍角,運用倍角公式:

sin2α= 2sinαcosα  sin3α= 3sinαcos2α–sin3α
cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα
tan 2α= 2tanα/1–tan 2α
tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α



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