一生受用的公式

一生受用的公式

一生受用的公式
Useful Mathematical & Physical Formulae 原版外文書資訊





二維圖形
下面是一些二維圖形的周長與面積公式。
圓：
半徑＝ r　　 直徑d＝2r
圓周長＝ 2πr ＝πd
面積＝πr2　 (π＝3.1415926…….)

橢圓：
面積＝πab
a與b分別代表短軸與長軸的一半。
右圖中的兩個點是焦點，l＋m是個常數（constant）。

矩形：
面積＝ ab
周長＝ 2a＋2b

平行四邊形（parallelogram）：
面積＝ bh ＝ ab sinα
周長＝ 2a＋2b
梯形：
面積＝ 1/2h (a＋b)
周長＝ a＋b＋h (secα＋secβ)
正n邊形：
面積＝ 1/2nb2 cot (180°/n)
周長＝ nb
四邊形（i）：
面積＝ 1/2ab sinα
四邊形（ii）：
面積＝ 1/2 (h1＋h2) b＋ah1＋ch2
三維圖形
　　以下是三維立體的體積與表面積（包含底部）公式。

球體：
體積＝ 4/3πr3
表面積＝ 4πr2

方體：
體積＝ abc
表面積＝ 2(ab＋ac＋bc)

圓柱體：
體積＝ πr2h
表面積＝ 2πrh＋2πr2

圓錐體：
體積＝ 1/3πr2h
表面積＝πr√r2＋h2 ＋πr2

三角錐體：
若底面積為A，
體積＝ 1/3Ah
平截頭體（frustum）：
體積＝ 1/3πh (a2＋ab＋b2)
表面積＝π(a＋b)c＋πa2＋πb2
橢球：
體積＝ 4/3πabc
環面（torus）：
體積＝ 1/4π2 (a＋b) (b–a) 2
表面積＝π2 (b2–a2)
座標幾何
一對垂直相交於平面的軸線，可以讓平面上的任意一點用一組實數來表示。軸線的交點是 (0, 0)，稱為原點。水平與垂直方向的位置，分別用x與y代表。

　　一條直線可以用方程式y＝mx＋c來表示，m是直線的斜率（gradient）。這條直線與y軸相交於 (0, c)，與x軸則相交於(–c/m, 0)。垂直線的方程式則是x＝k，x為定值。

　　通過(x0, y0)這一點，且斜率為n的直線是
y–y0＝n(x–x0)

一條直線若垂直於斜率為n的直線，則其斜率為–1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點的直線是
y＝(y2–y1／x2–x1)(x–x2)＋y2 x1≠x2
　　若兩直線的斜率分別為m與n，則它們的夾角θ滿足於
tanθ＝m–n／1＋mn
半徑為r、圓心在(a, b)的圓，以(x–a) 2＋(y–b) 2＝r2表示。
　
三維空間裡的座標與二維空間類似，只是多加一個z軸而已，例如半徑為r、中心位置在(a, b, c)的球，以(x–a) 2＋(y–b) 2＋(z–c) 2＝r2表示。
三維空間平面的一般式為ax＋by＋cz＝d。
三角學
　　右頁上圖是個邊長為a、b、c的直角三角形，其中一個夾角為θ。它的六個三角函數分別為：正弦（sine）、餘弦（cosine）、正切（tangent）、餘割（cosecant）、正割（secant）和餘切（cotangent）。

sinθ＝b/c　 cosθ＝a/c　 tanθ＝b/a
cscθ＝c/b　 secθ＝c/a　 cotθ＝a/b
　　

見右頁下圖，若圓的半徑是1，則其正弦與餘弦分別為直角三角形的高與底。
a＝cosθ　 　b＝sinθ

依照畢氏定理（參見第x頁），我們知道a2＋b2＝c2。因此對於圓上的任何角度θ，我們都可得出下列的全等式：
cos2θ＋sin2θ＝1
正弦、餘弦與正切的值，在一個圓的不同象限裡有正有負，如下圖所示。

三角恆等式
　　
根據前幾頁所述的定義，可得到下列恆等式（identity）：

tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ
secθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ
　　
分別用cos 2θ與sin 2θ來除cos 2θ＋sin 2θ＝1，可得：
sec 2θ–tan 2θ＝1 　及　 csc 2θ–cot 2θ＝1

對於負角度，六個三角函數分別為：

sin(–θ)＝ –sinθ 　csc(–θ)＝ –cscθ
cos(–θ)＝ cosθ sec(–θ)＝ secθ
tan(–θ)＝ –tanθ cot(–θ)＝ –cotθ
　　
右頁的圖是以弧度（radian，π弧度＝180°）所畫的正弦、餘弦數值變化圖。
當兩角度相加時，運用和角公式：

sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ
cos(α＋β)＝ cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ／1–tanαtanβ

若遇到兩倍角或三倍角，運用倍角公式：

sin2α＝ 2sinαcosα　 sin3α＝ 3sinαcos2α–sin3α
cos2α＝ cos 2α–sin 2α　cos3α＝ cos 3α–3sin 2αcosα
tan 2α＝ 2tanα／1–tan 2α
tan3α＝ 3tanα–tan 3α／1–3tan 2α